Mathematische Knobelei

Liebe Schülerinnen und Schüler,

Auch in diesem Schuljahr haben wieder viele von euch erfolgreich an den verschiedenen mathematischen Wettbewerben teilgenommen. Um euch auch zwischen den Wettbwerben die Möglichkeit zum mathematischen Knobeln zu geben, wird der Fachbereich Mathematik zukünftig immer wieder mathematische Knobelaufgaben bereitstellen.

Die erste Aufgabe findet ihr hier. Lösungen können bis zum 12.06. bei eurem Mathematiklehrer abgegeben werden. Die beste Lösung wird zum Hoffest mit einem kleinen Preis ausgezeichnet. Viel Spaß!

Knobelaufgabe zum Schuljahresabschluss

Klasse 7-8

Um die Maße der Pyramiden von Gizeh in Ägypten ranken sich viele Theorien:

a) Da die Höhe h der Pyramide mit quadratischer Grundfläche von kosmischer Bedeutung (siehe Teilaufgabe b)) sein sollte, wurde sie nach einer mystischen Anweisung berechnet:

Die Höhe h ist der Radius desjenigen Kreises (Kreis als Symbol des Sonnen-gottes Re), dessen Umfang genau gleich dem Umfang der Grundfläche der Pyramide ist.

Stelle eine Formel auf, mit der sich h aus der Grundkantenlänge a berechnen lässt.

Setze dann den Wert für a (beim Bau der Pyramide 230,38m) ein und berechne die ursprüngliche Höhe.

b) Die mittlere Entfernung Erde-Sonne wird heute als eine der Maßeinheiten im Weltall genommen:

1 astronomische Einheit= 1 AE ≈ 149.565.800 km.

Diese Entfernung sollte nach altägyptischer Auffassung genau 1 Milliarde Pyramidenhöhen sein.

Berechne, um wie viel Prozent die ägyptische Berechnung von vor 4500 Jahren vom heutigen Wert der AE abweicht.

Klasse 9-11

Drei Spieler Alfred, Berta und Cäsar spielen miteinander 3 Spiele.

Jeder besitzt ein bestimmtes Anfangskapital.

Beim 1.Spiel verliert Alfred, er zahlt an Berta und Cäsar soviel Geld, dass sich ihr Kapital jeweils verdoppelt.

Im 2.Spiel verliert Berta. Das Kapital von Alfred und Cäsar verdoppelt sich jeweils durch den Gewinn.

Beim letzten Spiel schließlich verliert Cäsar, dafür können aber Alfred und Berta ihr Spielgeld jeweils verdoppeln.

Nun besitzt jeder gleich viel Geld, nämlich 24 Gulden.

Mathematik an der AvH

„Stimmt es, dass die Schüler des Alexander-von-Humboldt-Gymnasiums im Fach Mathematik überdurchschnittliche Leistungen erbringen?“

Ja, das stimmt! Wir haben nicht nur im PISA-Vergleich bezüglich der Berliner Schulen überdurchschnittlich gut abgeschnitten, sondern lagen auch in allen 10. Klassen bei der Mathematik-Vergleichsarbeit 2004 klar vor dem Durchschnitt der Berliner Gymnasien. Ein großer Teil der Schülerschaft vertritt uns gerne und immer wieder sehr erfolgreich bei diversen berlin-, bundes- oder europaweit durchgeführten Wettbewerben.

„Mathematik an der AvH“ weiterlesen

Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik

Ein annähernd punktförmiger Körper mit Masse m bewege sich im Raum. Ist er dabei keinen Kräften ausgesetzt, so bewegt er sich geradlinig, und zwar ohne seine Geschwindigkeit zu ändern.

Beobachtet man hingegen, dass der Körper seine Geschwindigkeit ändert, so muss eine Kraft auf ihn gewirkt haben. Das zweite Newtonsche Axiom

    \[F(t)=m a(t)\]

kann experimentell bestätigt werden und besagt, dass diese einwirkende Kraft F(t) proportional zur beobachteten Beschleunigung a(t) ist, und das zu jedem Zeitpunkt t.

In vielen Fällen führt das zu Differentialgleichungen. Wir geben zwei Beispiele. „Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik“ weiterlesen

Känguru-Wettbewerb

Am Donnerstag, den 17.03.2016, findet in der 1. und 2. Stunde der Känguru-Wettbewerb im Fachbereich Mathematik (75′) statt.
146 Schüler und Schülerinnen unserer Schule beteiligen sich.
Der Taschenrechner ist für den Wettbewerb nicht zugelassen, das Tafelwerk kann genutzt werden.
Die zugeteilten Räume werden durch Frau Schneider am Vertretungsplan, durch die Fachlehrer und die Mathematik-Wandzeitung links neben R 301 angezeigt!

Viel Erfolg!

Matheolympiade an der AvH

Auch an unserer Schule findet die Matheolympiade statt. Die (freiwilligen)  Schülerinnen und Schüler müssen sich kniffligen Aufgaben stellen und die Besten werden am Ende zur nächsten Stufe an das Archenhold-Gymnasium geschickt.

An der Matheolympiade sind aber nicht nur die Oberschulen beteiligt. Auch die Grundschulen nehmen teil. So kamen wie auch schon in vorherigen Jahr die kleinen Mathematiker der 5./ 6. Klassen aus verschiedenen Grundschulen zu uns an die AvH, um hier die nächsthöhere Stufe zu absolvieren. „Matheolympiade an der AvH“ weiterlesen

Nullstellen von Polynomen

Wendet man auf ein Polynom f sukzessive Polynomdivision an, so kann man alle Linearfaktoren aus f herausziehen und erhält folgende Darstellung

    \[ f = g (X-a_1)^{\mu_1} \ldots (X-a_s)^{\mu_s} \]

wobei das Polynom g keine Nullstellen mehr hat. „Nullstellen von Polynomen“ weiterlesen

Den Bogen des Kosinus berechnen

Gegeben sei der Kosinus y=\cos(x) und der Bogen x=\arccos(y) soll berechnet werden. Für y=-1 bzw. y=0 ist das nichts anderes als \pi bzw. \pi/2.
„Den Bogen des Kosinus berechnen“ weiterlesen

Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

In dieser Stunde sollen die Additionstheoreme für den Sinus und Kosinus hergeleitet werden und einige Interessante Konsequenzen daraus gezogen werden.
„Additionstheoreme für Sinus und Kosinus“ weiterlesen

Die Wurzel ziehen nach Heron

Die Wurzel w einer reellen Zahl a=w^{2} soll ermittelt werden. Ist w_n eine Näherung der Wurzel, so gibt es einen kleinen Rest w= w_n+r und es würde genügen diesen Rest r zu ermitteln. Die Mutmaßung, dass bei kleinem r das Quadrat r^2 noch viel viel kleiner ist, liefert wegen

    \[a=(w_n+r)^2=w_n^2+2w_nr+r^2\approx w_n^2+2w_nr\]

eine Näherung für r\approx(a/w_n- w_n)/2 und damit eine hoffentlich bessere Näherung

    \[w_{n+1}=w_n + r = \dfrac{a/w_n + w_n}{2}\]

für die Wurzel. Man kann tatsächlich beweisen, dass

    \[\lim_{n\rightarrow \infty}w_n=w\]

Es sei angemerkt, dass dieses Verfahren viel schneller gegen die Wurzel w konvergiert als das Intervallhalbierungsverfahren. „Die Wurzel ziehen nach Heron“ weiterlesen