Den Bogen des Kosinus berechnen

Gegeben sei der Kosinus $y=\cos(x)$ und der Bogen $x=\arccos(y)$ soll berechnet werden. Für $y=-1$ bzw. $y=0$ ist das nichts anderes als $\pi$ bzw. $\pi/2$ .

Dazu wird der gesuchte Bogen $x$ in jedem Schritt halbiert (schiebe $n$ in der App nach rechts), also im $n$ -ten Schritt in $2^n$ Teile geteilt

$x_n=\frac{x_{n-1}}{2}=\ldots=\frac{x}{2^n}$

Bezeichne $s_n$ das entsprechende Streckensegment zum Bogensegment $x_n$ . Dann ist $x\approx 2^n s_n$ bzw.

$x=\lim_{n\rightarrow \infty} 2^n s_n$

Wir müssen also nur noch $s_n$ berechnen…

… Nach Pythagoras ist

$s_n^2=\sin^2(x_n)+(1-\cos(x_n))^2$

und hieraus folgert man leicht, dass

$s_n=\sqrt{2(1-\cos(x_n))}$

Wir müssen also nur noch $\cos(x_n)$ berechnen. Für $-\pi<\xi<\pi$ galt ja (ich hoffe ihr erinnert euch)

$\cos(\xi/2)=\sqrt{\frac{\cos(\xi)+1}{2}}$

Das wendet man nun an für $\xi=x_{n-1}$ und man erhält

$\cos(x_n)=\cos(x_{n-1}/2)=\sqrt{\frac{\cos(x_{n-1})+1}{2}}$

Die Formel zeigt, wie man $\cos(x_n)$ aus $\cos(x_{n-1})$ berechnen kann: $1$ addieren, durch $2$ austeilen und dann die Wurzel ziehen. Man beginnt bei $y=\cos(x)$ , der als gegeben vorausgesetzt ist und iteriert das dann $n$ -mal. Falls etwas noch nicht ganz klar sein sollte, werfe man einen Blick in die App.

Nun haben wir $\cos(x_n)$ berechnet. Daraus wird dann $s_n$ zurückgerechnet und daraus dann der ungefähre Wert des Bogens $x$ .

Bemerkung

Diese Vorgehensweise hat allerdings einen Nachteil: Das Teilsegment $s_n$ wird immer kleiner. Bei einer maschinellen Berechnung von $s_n$ hat man aber nur endlich viele Stellen nach dem Komma zur Verfügung. Irgendwann wird $s_n$ also $0$ zu $0$ berechnet werden, und damit der Bogen $2^n s_n$ ebenfalls zu $0$ .