Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

In dieser Stunde sollen die Additionstheoreme für den Sinus und Kosinus hergeleitet werden und einige Interessante Konsequenzen daraus gezogen werden.

Aufgaben.

Gegeben seien zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ . Beweise das Additionstheorem für den Sinus
$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$

Ermittle dazu die Flächeninhalte des grünen, roten und blauen Parallelogramms in der folgenden Situation.
Zur Erinnerung: Das Flächeninhaltsmaß eines Parallelogramms berechnet sich aus dem Produkt des Grundseiten- (durchgezogen) und Höhenmaßes (gestrichelt). Was sind hier jeweils Grundseiten- und Höhenmaß?
Wie lautet das Additionstheorem für $\cos(\alpha + \beta)$ ?
Hinweis: $\cos(\gamma)=\sin(\gamma+\pi/2)$
Lösung:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$
Drücke $\cos(x/2)$ als Formel in Abhängigkeit von $\cos(x)$ aus.
Hinweis: $x=x/2+x/2$ und trigonometrischer Pythagoras.
Lösung:

$\cos(x/2)=\sqrt{\dfrac{\cos(x)+1}{2}}$

Zumindest, wenn $-\pi/2<x/2<\pi/2$ , d.h. $-\pi<x<\pi$ , weil dann der Kosinus jedenfalls positiv ist.
Gib eine plausible Erklärung dafür, dass
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}=1$

Antwort: Je kleiner $h$ , desto gleicher werden $\sin(h)$ und $h$ .
Verwende die $h$ -Methode, um die Ableitung des Sinus zu bestimmen.
Antwort: noch offen …