Mathematik – Seite 3 – Alexander-von-Humboldt-Gymnasium

Die Wurzel $w$ einer reellen Zahl $a=w^{2}$ soll ermittelt werden. Ist $w_n$ eine Näherung der Wurzel, so gibt es einen kleinen Rest $w= w_n+r$ und es würde genügen diesen Rest $r$ zu ermitteln. Die Mutmaßung, dass bei kleinem $r$ das Quadrat $r^2$ noch viel viel kleiner ist, liefert wegen

$a=(w_n+r)^2=w_n^2+2w_nr+r^2\approx w_n^2+2w_nr$

eine Näherung für $r\approx(a/w_n- w_n)/2$ und damit eine hoffentlich bessere Näherung

$w_{n+1}=w_n + r = \dfrac{a/w_n + w_n}{2}$

für die Wurzel. Man kann tatsächlich beweisen, dass

$\lim_{n\rightarrow \infty}w_n=w$

Es sei angemerkt, dass dieses Verfahren viel schneller gegen die Wurzel $w$ konvergiert als das Intervallhalbierungsverfahren. „Die Wurzel ziehen nach Heron“ weiterlesen →