Nullstellen von Polynomen

Wendet man auf ein Polynom $f$ sukzessive Polynomdivision an, so kann man alle Linearfaktoren aus $f$ herausziehen und erhält folgende Darstellung

$f = g (X-a_1)^{\mu_1} \ldots (X-a_s)^{\mu_s}$

wobei das Polynom $g$ keine Nullstellen mehr hat.

Ein Produkt verschwindet genau dann, wenn mindestens einer seiner Faktoren verwschwindet. Deswegen sind $a_1,\ldots,a_s$ allesamt Nullstellen von $f$ und es kann keine weiteren Nullstellen mehr geben, denn ist $x\notin \{a_1,\ldots,a_s\}$ , so wird keines der $(x-a_i)$ verschwinden und $g$ verschwindet sowieso nie. $s$ bezeichnet offenbar die Anzahl der Nullstellen von $f$ .

Im Übrigen ist das Nullpolynom das einzige, bei der die sukzessive Polynomdivision kein Ende hat. Man kann für jede reelle Zahl $a\in\mathbb{R}$ stets den Linearfaktor $(X-a)$ rausziehen und das beliebig oft. Die $g$ s bleiben immer $0$ . Eine leise Ahnung bahnt sich an, dass das Nullpolynom ein wenig sonderbar ist… oder?

Gradformeln

Seien $f$ und $g$ zwei Polynome. Dann gelten die Gradformeln

$\deg(f+g)\leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}\quad\deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)$

Man mache sich die Gradformeln an den Polynomen $f=2X^4-3X-1$ und $g=-2X^4+3$ klar, insbesondere, warum in der additiven Version nur $\leq$ und nicht $=$ stehen muss.

Nebenbei sei bemerkt (Der interessierte Leser überprüfe dieses Statement): Damit die Gradformeln auch dann noch gelten, wenn eines der Polynome das Nullpolynom ist, definiert man $\deg(0):=-\infty$ und nicht $\deg(0)=0$ oder $\infty$ . Alle anderen konstanten(!) Polynome $f=c=cX^0$ (mit $c\neq 0$ ) haben aber Grad $0$ .

Für uns ist jetzt aber nur die multiplikative Version wichtig, denn nun wissen wir, dass für ein Polynom $f\neq 0$ gilt

$\deg(f) = \deg(g) + \deg((X-a_1)^{\mu_1} + \ldots + \deg((X-a_s)^{\mu_s}) = \ldots$

weiter gilt $\deg((X-a_i)^{\mu_i})=\deg(X-a_i)+\ldots +\deg(X-a_i)=1+\ldots +1=\mu_i$ also ist

$\ldots = \deg(g) + \mu_1 +\ldots +\mu_s \geq \mu_1 + \ldots +\mu_s \geq s$

bei der ersten Ungleichung beachte man, dass $g\neq 0$ ist und man deswegen nach unten abschätzen kann. Bei der zweiten Ungleichung beachte man, dass alle $\mu_i\geq 1$ sind.

$s$ ist aber nichts anderes als die Anzahl der Nullstellen von $f$ . Wir haben also gezeigt, dass ein Polynom $f\neq 0$ höchstens so viele Nullstellen haben kann wie sein Grad $\deg(f)$ . Insbesondere sind das nur endlich(!) viele.

Man überlege sich selbst, wieso diese Argumentation beim Nullpolynom nicht funktioniert…

Beim Nullpolynom ist aber offensichtlich, dass es unendlich viele Nullstellen hat, genauer gesagt sogar die gesamte reelle Achse $\mathbb{R}$ .