Funktionen simulieren

Gegeben seien zwei Punkte $x$ und $y$ auf dem Zahlenstrahl. Wie kann man die „Gleichheit“ von $x$ und $y$ messen? Indem man deren Abstand

$\vert x-y\vert$

ausrechnet. Je kleiner der ist, als desto „gleicher“ kann man $x$ und $y$ ansehen, und wenn dieser Abstand $=0$ ist, dann sind $x$ und $y$ sogar wirklich gleich.

Gegeben seien zwei Funktionen $f$ und $g$ . Wie kann man die „Gleichheit“ von $f$ und $g$ messen? Dazu gibt es unterschiedliche Konzepte. Wir verfolgen dieses:

$\Vert f-g\Vert_I:=\sup_{x\in I}\vert f(x)-g(x)\vert$

Wenn dieser Ausdruck klein ist, sagen wir $\leq 0.1$ , dann wissen wir, dass die Funktionswerte $f(x)$ und $g(x)$ niemals weiter als $0.1$ voneinander entfernt sind! Man kann also auch hier sagen: Je kleiner $\Vert f-g\Vert_I$ ist, als desto „gleicher“ kann man $f$ und $g$ ansehen, und wenn $\Vert f-g\Vert_I=0$ ist, dann sind $f$ und $g$ sogar wirklich gleich.

Die folgende Abbildung zeigt eine Funktion $f$ und zwei Funktionen $g$ (rot) und $h$ (blau), die $f$ approximieren sollen. Ermittle durch Hingucken, wie groß $\Vert f-g\Vert_I$ und $\Vert f-h\Vert_I$ auf dem Intervall $I=[0,3]$ ungefähr sind. Welche Funktion approximiert $f$ deiner Meinung nach besser?