Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik

Ein annähernd punktförmiger Körper mit Masse $m$ bewege sich im Raum. Ist er dabei keinen Kräften ausgesetzt, so bewegt er sich geradlinig, und zwar ohne seine Geschwindigkeit zu ändern.

Beobachtet man hingegen, dass der Körper seine Geschwindigkeit ändert, so muss eine Kraft auf ihn gewirkt haben. Das zweite Newtonsche Axiom

$F(t)=m a(t)$

kann experimentell bestätigt werden und besagt, dass diese einwirkende Kraft $F(t)$ proportional zur beobachteten Beschleunigung $a(t)$ ist, und das zu jedem Zeitpunkt $t$ .

In vielen Fällen führt das zu Differentialgleichungen. Wir geben zwei Beispiele.

harmonischer Oszillator

Zieht man ein Massenstück $m$ an einer Feder aus seiner Ruhelage, so wirkt auf dieses Massestück eine Kraft, die proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist (Hooksches Gesetz). Die Proportionalitätskonstante bezeichnet man als Federkonstante $D>0$ .

Zieht man nun das Massestück um $y_0$ aus der Ruhelage und lässt es los, so oszilliert das Massestück um die Ruhelage herum. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das Ganze im Vakuum geschieht. Es gibt also keinen Luftwiderstand. Die Oszillation wird also nicht gedämpft und schwingt endlos, ohne Energieverlust hin und her.

Die Auslenkung des Massestücks wird durch eine zeitabhängige Funktion $y(t)$ beschrieben. Nach dem Hookschen Gesetz wirkt die Kraft $F(t)=-D y(t)$ auf die Feder. Nach dem zweiten Newtonschen Axiom ist $F(t)=m a(t)=m y''(t)$ . Also hat man

$y''(t)=-\frac{D}{m}y(t)$

Freier Fall mit Luftwiderstand

Den freien Fall ohne Luftwiderstand (d.h. im Vakuum) hast du sicherlich im Physikunterricht behandelt. Wie schaut es aber aus, wenn man den Luftwiderstand mitberücksichtigt?

Luftwiderstand ist eine Kraft, die den Körper gegen das Fallen abbremst. Ruht ein Körper in der Luft, so erfährt er keinen Luftwiderstand. Mit steigender Geschwindigkeit erhöht sich der Luftwiderstand (Fahrradfahren, Bungee Jumping). Man kann experimentell nachweisen, dass unter einer gewissen kritischen Geschwindigkeit (beim freien Fall aus adäquater Höhe wird die sowieso nicht überschritten) dieser Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit ist. Der Luftwiderstand wird hier auch als Stokessche Reibung bezeichnet (Nebenbei: Ab einer gewissen kritischen Geschwindigkeit wird der Luftwiderstand noch viel viel stärker, nämlich proportional zum Geschwindigkeitsquadrat. Der Luftwiderstand wird hier als Newtonsche Reibung bezeichnet, aber das ist jetzt nicht das Thema).

Die Proportionalitätskonstante $\beta$ kann man auch als Luftwiderstandskoeffizienten bezeichnen. Der hängt sicherlich von der Zusammensetzung der Luft ab.

Beim freien Fall aus adäquater Höhe wirken also zwei Kräfte.

Graviation $-mg$
Stokessche Reibung $\beta v(t)$

Die Gesamtkraft, die auf den Körper wirkt ist also $F(t)=-mg+\beta v(t)=-mg-\beta y'(t)$ . Nach dem zweiten Newtonschen Axiom ist aber $F(t)=ma(t)=my''(t)$ . Also erhält man

$y''(t)=-g-\frac{\beta}{m}y'(t)$