Differentialgleichungen

Angenommen, man weiß (aus irgendwelchen theoretischen Vorüberlegungen) von einer Funktion $f(t)$ , dass sie die Differentialgleichung $f'(t)=f(t)$ erfüllen muss und kennt ihren Anfangswert $f(0)=1$ und ist nun an dem Funktionswert $f(T)$ zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt $T>0$ interessiert. Wie findet man diesen Funktionswert?

Dazu unterteilt man die Zeitachse von $0$ bis $T$ in $n$ gleichgroße Teile. Seien also $t_k=kh$ mit $h=\frac{T}{n}$ für ein großes $n$ und $k=0,1,2,\ldots ,n$

Lt. Anfangsbedingung ist $f(t_0) = 1$ bekannt. Die Differentialgleichung besagt nun, dass

$f'(t) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h} =f(t)$

Approximiert man in $t = t_k$ den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten zwischen $t_{k}$ und $t_{k+1}$ , erhält man

$\frac{f(t_{k+1})-f(t_k)}{h} \approx f(t_k)$

und damit die Rekursionsgleichung

$f(t_{k+1}) \approx f(t_k)(1+h)$

Diese Gleichung besagt, dass man den Funktionswert zum nächsten Zeitpunkt $t_{k+1}$ ungefähr voraussagen kann, wenn man den Funktionswert des aktuellen Zeitpunkts $t_k$ kennt. Und den Funktionswert zum Anfangszeitpunkt $t_0=0$ kennen wir ja aus der Anfangsbedingung $f(0)=1$ .
Also kann man bereits alle(!) Funktionswerte ermitteln – zumindest approximativ.

Man folgert leicht, dass $f(t_k)\approx(1+h)^k$ sein muss. Nun ist $h=\frac{T}{n}$ und es folgt

$f(T)=f(t_n)\approx\left(1+\frac{T}{n}\right)^n$

und je kleiner $h$ , d.h. je größer $n$ , desto exakter wird diese Näherungslösung, sodass ultimativ

$f(T)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{T}{n}\right)^n$

sein wird. Diese Argumentation legt nahe, dass es nur eine Lösung der DGL $f'=f$ gibt, wenn die Anfangsbedingung $f(0) = 1$ vorliegt.
Durch scharfes Hinsehen erkennt man natürlich sofort, dass $f(t)=e^t$ ebenfalls Lösung ist.

Also hat man

$e^t=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{t}{n}\right)^n$

Die folgende Applikation zeigt die Exponentialfunktion (blau) und die approximierten Werte (rot). $n$ kann durch den Schieberegler variiert werden.