Funktionen simulieren

Gegeben seien zwei Punkte x und y auf dem Zahlenstrahl. Wie kann man die „Gleichheit“ von x und y messen? Indem man deren Abstand

    \[\vert x-y\vert\]

ausrechnet. Je kleiner der ist, als desto „gleicher“ kann man x und y ansehen, und wenn dieser Abstand =0 ist, dann sind x und y sogar wirklich gleich.

Gegeben seien zwei Funktionen f und g. Wie kann man die „Gleichheit“ von f und g messen? Dazu gibt es unterschiedliche Konzepte. Wir verfolgen dieses:

    \[\Vert f-g\Vert_I:=\sup_{x\in I}\vert f(x)-g(x)\vert\]

Wenn dieser Ausdruck klein ist, sagen wir \leq 0.1, dann wissen wir, dass die Funktionswerte f(x) und g(x) niemals weiter als 0.1 voneinander entfernt sind! Man kann also auch hier sagen: Je kleiner \Vert f-g\Vert_I ist, als desto „gleicher“ kann man f und g ansehen, und wenn \Vert f-g\Vert_I=0 ist, dann sind f und g sogar wirklich gleich.

Die folgende Abbildung zeigt eine Funktion f und zwei Funktionen g (rot) und h (blau), die f approximieren sollen. Ermittle durch Hingucken, wie groß \Vert f-g\Vert_I und \Vert f-h\Vert_I auf dem Intervall I=[0,3] ungefähr sind. Welche Funktion approximiert f deiner Meinung nach besser?