Kleiner Fermat

Wir müssen noch den kleinen Fermat für \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z} zeigen. Klicke dazu hier. Der Text liest sich nicht wie ein Roman. Es könnte vorteilhaft sein, wenn man nebenbei Stift und Schmierzettel parat hat, um den einen oder anderen Gedankengang vollständig zu verstehen.

Der größte gemeinsame Teiler

Öffne eine Online JavaScript Konsole. Dort kannst du  in der lilagrauen Leiste oben die Befehle

  • teiler(735)
  • ggT(735,504)
  • Math.pow(3,7)%17

aus der letzten Stunde ausführen.

Neues Thema Neue Uhrzeit

Ab Donnerstag, den 21. Aprli, beginnt ANALYSIS^{+} ab 14:00 und endet um 15:30. Wir werden außerdem ein neues Thema starten: komplexe Zahlen \mathbb{C}.

Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik

Ein annähernd punktförmiger Körper mit Masse m bewege sich im Raum. Ist er dabei keinen Kräften ausgesetzt, so bewegt er sich geradlinig, und zwar ohne seine Geschwindigkeit zu ändern.

Beobachtet man hingegen, dass der Körper seine Geschwindigkeit ändert, so muss eine Kraft auf ihn gewirkt haben. Das zweite Newtonsche Axiom

    \[F(t)=m a(t)\]

kann experimentell bestätigt werden und besagt, dass diese einwirkende Kraft F(t) proportional zur beobachteten Beschleunigung a(t) ist, und das zu jedem Zeitpunkt t.

In vielen Fällen führt das zu Differentialgleichungen. Wir geben zwei Beispiele. „Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik“ weiterlesen

Differentialgleichungen

Angenommen, man weiß (aus irgendwelchen theoretischen Vorüberlegungen) von einer Funktion f(t), dass sie die Differentialgleichung f'(t)=f(t) erfüllen muss und kennt ihren Anfangswert f(0)=1 und ist nun an dem Funktionswert f(T) zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt T>0 interessiert. Wie findet man diesen Funktionswert? „Differentialgleichungen“ weiterlesen

Funktionen simulieren

Gegeben seien zwei Punkte x und y auf dem Zahlenstrahl. Wie kann man die „Gleichheit“ von x und y messen? Indem man deren Abstand

    \[\vert x-y\vert\]

ausrechnet. Je kleiner der ist, als desto „gleicher“ kann man x und y ansehen, und wenn dieser Abstand =0 ist, dann sind x und y sogar wirklich gleich.

Gegeben seien zwei Funktionen f und g. Wie kann man die „Gleichheit“ von f und g messen? „Funktionen simulieren“ weiterlesen

Nullstellen von Polynomen

Wendet man auf ein Polynom f sukzessive Polynomdivision an, so kann man alle Linearfaktoren aus f herausziehen und erhält folgende Darstellung

    \[ f = g (X-a_1)^{\mu_1} \ldots (X-a_s)^{\mu_s} \]

wobei das Polynom g keine Nullstellen mehr hat. „Nullstellen von Polynomen“ weiterlesen

Den Bogen des Kosinus berechnen

Gegeben sei der Kosinus y=\cos(x) und der Bogen x=\arccos(y) soll berechnet werden. Für y=-1 bzw. y=0 ist das nichts anderes als \pi bzw. \pi/2.
„Den Bogen des Kosinus berechnen“ weiterlesen

Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

In dieser Stunde sollen die Additionstheoreme für den Sinus und Kosinus hergeleitet werden und einige Interessante Konsequenzen daraus gezogen werden.
„Additionstheoreme für Sinus und Kosinus“ weiterlesen

Die Wurzel ziehen nach Heron

Die Wurzel w einer reellen Zahl a=w^{2} soll ermittelt werden. Ist w_n eine Näherung der Wurzel, so gibt es einen kleinen Rest w= w_n+r und es würde genügen diesen Rest r zu ermitteln. Die Mutmaßung, dass bei kleinem r das Quadrat r^2 noch viel viel kleiner ist, liefert wegen

    \[a=(w_n+r)^2=w_n^2+2w_nr+r^2\approx w_n^2+2w_nr\]

eine Näherung für r\approx(a/w_n- w_n)/2 und damit eine hoffentlich bessere Näherung

    \[w_{n+1}=w_n + r = \dfrac{a/w_n + w_n}{2}\]

für die Wurzel. Man kann tatsächlich beweisen, dass

    \[\lim_{n\rightarrow \infty}w_n=w\]

Es sei angemerkt, dass dieses Verfahren viel schneller gegen die Wurzel w konvergiert als das Intervallhalbierungsverfahren. „Die Wurzel ziehen nach Heron“ weiterlesen