Kleiner Fermat

Wir müssen noch den kleinen Fermat für \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z} zeigen. Klicke dazu hier. Der Text liest sich nicht wie ein Roman. Es könnte vorteilhaft sein, wenn man nebenbei Stift und Schmierzettel parat hat, um den einen oder anderen Gedankengang vollständig zu verstehen.

Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik

Ein annähernd punktförmiger Körper mit Masse m bewege sich im Raum. Ist er dabei keinen Kräften ausgesetzt, so bewegt er sich geradlinig, und zwar ohne seine Geschwindigkeit zu ändern.

Beobachtet man hingegen, dass der Körper seine Geschwindigkeit ändert, so muss eine Kraft auf ihn gewirkt haben. Das zweite Newtonsche Axiom

    \[F(t)=m a(t)\]

kann experimentell bestätigt werden und besagt, dass diese einwirkende Kraft F(t) proportional zur beobachteten Beschleunigung a(t) ist, und das zu jedem Zeitpunkt t.

In vielen Fällen führt das zu Differentialgleichungen. Wir geben zwei Beispiele. „Differentialgleichungen in der newtonschen Mechanik“ weiterlesen

Die Wurzel ziehen nach Heron

Die Wurzel w einer reellen Zahl a=w^{2} soll ermittelt werden. Ist w_n eine Näherung der Wurzel, so gibt es einen kleinen Rest w= w_n+r und es würde genügen diesen Rest r zu ermitteln. Die Mutmaßung, dass bei kleinem r das Quadrat r^2 noch viel viel kleiner ist, liefert wegen

    \[a=(w_n+r)^2=w_n^2+2w_nr+r^2\approx w_n^2+2w_nr\]

eine Näherung für r\approx(a/w_n- w_n)/2 und damit eine hoffentlich bessere Näherung

    \[w_{n+1}=w_n + r = \dfrac{a/w_n + w_n}{2}\]

für die Wurzel. Man kann tatsächlich beweisen, dass

    \[\lim_{n\rightarrow \infty}w_n=w\]

Es sei angemerkt, dass dieses Verfahren viel schneller gegen die Wurzel w konvergiert als das Intervallhalbierungsverfahren. „Die Wurzel ziehen nach Heron“ weiterlesen